Campos magnéticos en una taberna escocesa

La ciudad de Leópolis, en la actual Ucrania, perteneció al imperio austro-húngaro desde el siglo XVIII hasta su colapso con la Primera Guerra Mundial, pasando a formar parte de Polonia entre los años 1919 y 1939. En el periodo de entreguerras, la comunidad matemática de Leópolis incluía a un buen número de los mejores matemáticos del mundo, encabezados por el distinguido analista polaco Stefan Banach.

Uno de los lugares de reunión y trabajo predilectos de Banach era una taberna cercana a la universidad llamada Café Escocés. Tras largas horas de discusión, las mesas de mármol de este establecimiento acababan cubiertas por fórmulas escritas a lápiz, que eventualmente eran borradas por el propietario para consternación de Banach y de otros destacados matemáticos como Stanisław Mazur y Stanisław Ulam. Por ello, la esposa de Banach decidió comprar un grueso cuaderno, en el que recogían los problemas que no conseguían resolver tras largas horas de trabajo, y que permanecía en el Café Escocés.

Este cuaderno, conocido como el Libro Escocés, contenía una legendaria colección de problemas abiertos, principalmente sobre análisis funcional y topología. Quien resolvía alguno de estos frecuentemente obtenía un premio ofrecido por alguno de estos matemáticos, como una jarra de cerveza, una botella de buen brandy o incluso una oca viva. Evidentemente, estas recompensas resultan más sustanciosas en su contexto histórico: eran los años de la Gran Depresión anterior a la Segunda Guerra Mundial. La oca la recibió el sueco Per Enflo en 1972, muchos años después, de manos de Mazur, cuando resolvió el célebre problema 153 al construir un espacio de Banach que no admite una base de Schauder. La ceremonia fue retransmitida en directo por la televisión polaca.

Nuestro contacto personal con el Libro Escocés es a través de su mayor contribuidor de problemas: Stanislaw Ulam, quien años después se describiría con sorna como “un matemático puro que había caído tan bajo, que su último artículo tenía números con decimales”. Esto hace referencia a sus importantes contribuciones al Proyecto Manhattan en los años cuarente y cincuenta, cuando los Estados Unidos trabajaban para crear la bomba atómica antes de que lo hiciera el Gobierno nazi. Para hacerse una idea del legado científico de Ulam, basta echar un vistazo a la lista de contribuciones que llevan su nombre, que incluye los teoremas de Borsuk-Ulam, Mazur-Ulam y Kuratowski-Ulam en matemáticas, el diseño de Teller-Ulam y el modelo Fermi-Ulam en física nuclear, o el sistema de Fermi-Pasta-Ulam con que da comienzo la llamada matemática experimental. Ulam también desarrolló, junto con Nicholas Metropolis y John Von Neumann, el famoso algoritmo numérico basado en números aleatorios que llamaron método de Montecarlo, en honor a la afición de un tío de Ulam por el casino homónimo.

En el problema 16 del Libro Escocés, en torno a 1935, Ulam planteó una cuestión sobre la geometría de los campos magnéticos creados por un cable, a través del que circula una corriente eléctrica. Cuando el cable tiene forma circular, se entiende perfectamente el comportamiento del campo magnético y es, de hecho, un modelo fundamental en física e ingeniería. Para formas más complicadas del cable, en particular cuando está anudado, como la lazada de un zapato, no se puede calcular explícitamente el campo magnético generado. Ulam se preguntaba si el anudamiento del cable refleja la geometría del campo magnético. Esta geometría se describe mediante las llamadas líneas magnéticas, que se visualizan experimentalmente mediante la orientación de virutas metálicas. Es curioso que, aunque el estudio de cables anudados surgió como experimento mental en un contexto puramente matemático, ha aparecido recientemente en el trabajo de un grupo de físicos de Princeton, quienes han diseñado un nuevo dispositivo de confinamiento de plasmas llamado Nudotrón..

Ulam pensó e hizo experimentos numéricos sobre el problema recurrentemente a lo largo de su vida, y lo incluyó en sus colecciones de problemas abiertos publicadas posteriormente. Y aunque él murió sin ver el problema resuelto, hoy podemos dar una respuesta bastante satisfactoria: la geometría del campo magnético no refleja el anudamiento del cable, pero casi. Hemos demostrado que hay cables anudados de forma compleja con líneas magnéticas de topología tan sencilla como en el caso de la espira circular, pero que basta crear cuidadosamente un pequeño encrespamiento en el cable para que surjan líneas magnéticas que reflejan fielmente su anudamiento. Haciendo honor a la escuela matemática surgida en Leópolis, la demostración de este hecho combina ideas topológicas con métodos de análisis funcional.

Si el lector desea degustar una jarra de cerveza o un buen brandy en el lugar de los hechos, puede acudir al Café Escocés, que aún hoy sigue abierto. Si desea además que le inviten al trago, puede pedir la copia del Libro Escocés que se guarda en el local a disposición del cliente, y tratar de resolver algunos de los problemas con premio que siguen abiertos. Aunque hemos de advertirle de que tendrá que pensar mucho para solucionarlos, y  que la persona que habría de invitarle podría haber fallecido hace mucho tiempo.