Por qué los números primos siguen fascinando a los matemáticos, 2.300 años después

PRIMOS

El 20 de marzo, el matemático estadounidense de origen canadiense Robert Langlands fue distinguido con el Premio Abel por toda una vida dedicada a las matemáticas. La investigación de Langlands ha demostrado que conceptos derivados de la geometría, el álgebra y el análisis numérico podían conectarse a través de un vínculo común con los números primos.

Cuando el rey de Noruega le entregue el galardón a Langlands, el próximo mayo, estará premiando el último de los esfuerzos que desde hace 2,300 años tratan de entender los números primos, posiblemente el conjunto de datos matemáticos mayor y más antiguo.

Como matemático dedicado a este programa Langlands, me fascina la historia de los números primos y los recientes avances que ayudan a desenmarañar sus secretos. ¿Por qué llevan milenios cautivando a los matemáticos?

Para estudiar los números primos, los matemáticos extraen números enteros de una tabla virtual tras otra, hasta dejar solo los primos. Este procedimiento de criba produjo tablas de millones de primos en el siglo XIX. En la actualidad, permite a los ordenadores encontrar miles de millones de números primos en menos de un segundo. Pero la idea fundamental de la criba permanece inmutable desde hace más de 2,000 años.

“Un número primo es aquel que solo es medido por la unidad”, escribía el matemático Euclides en el año 300 a. C. Esto significa que los números primos no son divisibles entre ningún número menor que ellos, excepto 1. Por convención, los matemáticos no cuentan el 1 como número primo.

Si bien Euclides demostró que los números primos son infinitos, la historia indica que fue Eratóstenes quien nos aportó la criba que permite hallarlos con rapidez. Esta es la idea de la criba. Primero, filtramos los múltiplos de 2, luego de 3, de 5 y de 7, los cuatro primeros números primos. Si lo hacemos con todos los números del 2 al 100, solo quedarán números primos. Con ocho pasos de filtrado, podemos aislar los números primos hasta 400. Con 168 pasos de filtrado, podemos aislar primos hasta 1 millón. Esa es la capacidad de la criba de Eratóstenes.

Una de las primeras figuras en el listado de primos fue John Pell, un matemático inglés que se dedicó a crear tablas de números útiles. Su motivación era resolver problemas aritméticos antiguos planteados por Diofanto, pero también un objetivo personal de organizar verdades matemáticas. Gracias a sus esfuerzos, a principios del siglo XVIII circulaban ya los números primos hasta 100.000. En 1800, distintos proyectos independientes habían hallado ya los primos hasta 1 millón.

Para automatizar los tediosos pasos de criba, un matemático alemán llamado Carl Friedrich Hindenburg utilizó deslizadores ajustables para eliminar de inmediato múltiplos en toda una página de una tabla. Otro método poco tecnológico pero eficaz empleaba plantillas para localizar los múltiplos. A mediados del siglo XIX, el matemático Jakob Kulik se había embarcado en un ambicioso proyecto para encontrar todos los números primos hasta 100 millones.

Estos “grandes datos” del siglo XIX podrían haber servido solo como tabla de referencia si Carl Friedrich Gauss no hubiera decidido analizar los números primos por sí mismos. Armado con una lista de primos hasta 3 millones, Gauss empezó a contarlos, de “chiliada” (grupos de 1,000 unidades) en chiliada. Contó los primos que hay hasta 1,000, después entre 1,000 y 2,000, después entre 2,000 y 3,000 y así sucesivamente.

Gauss descubrió que, a medida que aumentan los números, la frecuencia de los primos desciende de acuerdo con una ley de “logaritmo inverso”. La ley de Gauss no muestra con exactitud cuántos primos hay, pero ofrece un cálculo bastante bueno. Por ejemplo, su ley predice la existencia de 72 primos entre 1,000.000 y 1,001.000. La cifra correcta es de 75, un error de aproximadamente el 4%.

Un siglo después de las primeras exploraciones de Gauss, el “teorema de los números primos” demostró su ley. El porcentaje de error se aproxima a cero en las cadenas de primos de mayor tamaño. La hipótesis de Riemann, un problema que vale 1 millón de dólares en la actualidad, describe también lo exacto que es realmente el cálculo de Gauss.

El teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann reciben la atención y el dinero, pero ambos se basan en análisis de datos anteriores y menos glamurosos.

Hoy en día, nuestros conjuntos de datos proceden de programas informáticos, y no de plantillas hechas a mano, pero los matemáticos siguen hallando nuevos patrones en los primos.

Excepto el 2 y el 5, todos los números primos acaban en 1, 3, 7 o 9. En el siglo XIX se demostró que estos posibles últimos dígitos se dan con la misma frecuencia. En otras palabras, si observamos los primos hasta un millón, aproximadamente el 25% termina en 1, el 25% en 3, el 25% en 7 y el 25% en 9.

En lo que al estudio de números primos sucesivos se refiere, los matemáticos se ven limitados  al análisis de datos y a la persuasión

Hace unos años, dos teóricos de números de Stanford, Robert Lemke Oliver y Kannan Soundararajan, se sorprendieron al observar peculiaridades en los últimos dígitos de números primos. Un experimento observaba el último dígito de un primo y el último dígito del siguiente. Por ejemplo, el número primo que sigue a 23 es 29: vemos un 3 y después un 9 en sus últimos dígitos. ¿Es la secuencia 3 – 9 entre los últimos dígitos de los números primos más frecuente que la de 3 – 7?

Los teóricos de números esperaban cierta variación, pero lo que encontraron superó con creces sus expectativas. Los primos están separados por diferentes intervalos; por ejemplo, 23 está a seis números de 29. Pero la secuencia de primos terminados en 3 y a continuación 9, como 23 y 29, es mucho más común que 7 – 3, aunque ambos procedan de un intervalo de seis.

Los matemáticos pronto encontraron una explicación verosímil. Pero en lo que al estudio de números primos sucesivos se refiere, los matemáticos se ven limitados (principalmente) al análisis de datos y a la persuasión. Parece que las pruebas –el patrón oro de los matemáticos para explicar por qué las cosas son ciertas– tardarán décadas.